1引言

共晶界面形態(tài)穩(wěn)定性是凝聚態(tài)物理學(xué)和材料科學(xué)的一個基礎(chǔ)課題[1?6].定向凝固過程中晶體形態(tài)的不穩(wěn)定性可能會導(dǎo)致不同的微觀結(jié)構(gòu)，最終極大地影響產(chǎn)品的物理和機(jī)械性能.Hele-Shaw生長室是觀察共晶定向凝固過程的典型實(shí)驗(yàn)裝置，它是一個封存有樣品材料的十分扁平的容器.生長室設(shè)置了一個高溫區(qū)與一個低溫區(qū)，高溫區(qū)的溫度設(shè)為TH，低溫區(qū)的溫度為TC，材料的凝固溫度TM介于兩者之間:即TC。

固體材料本身并非各向同性介質(zhì)，其晶格結(jié)構(gòu)使固體體內(nèi)的物理量以及表面的物理參數(shù)依賴于取向，變?yōu)楦飨虍愋粤?固體材料這些物理參量的各向異性特征對凝固過程動力學(xué)與界面穩(wěn)定性機(jī)理以至對界面微結(jié)構(gòu)圖案的形成與選擇造成重要的影響[14].王志軍等[15，16]研究了各向異性表面張力對定向凝固過程中初始平界面穩(wěn)定性的影響，發(fā)現(xiàn)各向異性表面張力的非線性效應(yīng)導(dǎo)致界面傾斜生長.Chen等[17]研究了各向異性表面張力對定向凝固過程中球晶生長的影響，發(fā)現(xiàn)在各向異性表面張力作用下，球晶生長初始階段部分界面首先向內(nèi)移動，達(dá)到一定的熔化深度后向外移動.Xu[18]研究了各向異性表面張力對定向凝固過程中枝晶生長的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng)存在各向異性表面張力時，枝晶系統(tǒng)具有兩種不同的整體不穩(wěn)定性機(jī)理:震蕩不穩(wěn)定性與低頻不穩(wěn)定性.陳明文等[19]研究了各向異性表面張力對定向凝固過程中深胞晶生長的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng)各向異性表面張力增大時，深胞晶界面全長增大，根部低端的曲率半徑增大.本文應(yīng)用多重變量展開法研究各向異性表面張力條件下定向凝固共晶生長形態(tài)穩(wěn)定性，揭示了各向異性表面張力對共晶生長不穩(wěn)定性區(qū)域大小的影響.

圖1共晶結(jié)構(gòu)的示意圖

2定向凝固系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

假設(shè)由α和β兩相組成的片層共晶以拉度V向液相穩(wěn)定推進(jìn)，共晶片層與固-液界面垂直.選取固-液界面處α相片層的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸與片層垂直，z軸與晶體生長方向平行，如圖1所示.共晶界面用函數(shù)z=h(x，t)表示，它也是共晶生長解的一部分.

本文引用Xu等[12]的無量綱化尺度，并且假設(shè)主間距的一半?w遠(yuǎn)小于溶質(zhì)擴(kuò)散長度?D=κD/V，即?w??D，其中κD為溶質(zhì)擴(kuò)散系數(shù).選取?w為長度尺度，V為速度尺度，?w/V為時間尺度，?H/(cPρL)為溫度尺度，Ce為濃度尺度，其中?H是單位體積內(nèi)固相潛熱，cP是比熱容，ρL是溶質(zhì)密度，Ce是共晶濃度.無量綱溫度ˉT=(T?Te)/[?H/cPρL]，無量綱濃度ˉC=(C?Ce)/Ce，無量綱無窮遠(yuǎn)處濃度ˉC∞=[(C∞)D?Ce]/Ce，其中Te是共晶溫度，(C∞)D是有量綱無窮遠(yuǎn)處濃度.為了書寫簡潔起見，下文省略掉無量綱量頭上的符號“-”.各向異性表面張力用四重對稱函數(shù)γ(θ)=γ0[1+γ4cos(4θ)][14]表示，其中γ0為各向同性表面張力系數(shù)，γ4為各向異性表面張力系數(shù)，θ為界面法向量與z軸之間的夾角.共晶生長系統(tǒng)還包含以下無量綱量:Peclet數(shù)Pe=?w/?D;形態(tài)參數(shù)M=(?mCe)/[?H/(cPρL)]，m是液相線系數(shù);界面穩(wěn)定性參數(shù)Γ=?c/?w，?c是毛細(xì)長度，?c=γ0cPρLTe/(?H)2;無量綱溫度梯度G=(G)D?w/[?H/(cPρL)]，(G)D是與實(shí)驗(yàn)裝置相關(guān)的有量綱溫度梯度;無量綱間距參數(shù)Wc=wc/?w，wc表示α相寬度的一半.

注意到γ0，γ4，m和分離系數(shù)κ都是分段常值函數(shù)，在α相和β相都有各自對應(yīng)的常數(shù)值.用q來代表這類物理量，qα表示其在α相的函數(shù)值，qβ表示其在β相的函數(shù)值.由于溶質(zhì)擴(kuò)散長度?D遠(yuǎn)小于熱擴(kuò)散長度?T=κT/V，即?D??T，其中κT是熱擴(kuò)散系數(shù).界面溫度可以近似表示為TL=TS～G(z?z?)，其中TL，TS分別是液相和固相溫度，z?是與α相尖端位置有關(guān)的常數(shù).對于典型的實(shí)驗(yàn)材料，Peclet數(shù)Pe很小.以CBr4-C4Cl6[20，21]生長系統(tǒng)為例，Pe≈0.01，?！?.5×10?5.為了做漸近分析，本文把Peclet數(shù)Pe作為基本的小參數(shù)，假設(shè)ε=Pe?1且Γ=ε2ˉΓ，ˉΓ=O(1).

為考察共晶生長形態(tài)穩(wěn)定性，利用共晶生長的定常解作為基態(tài)進(jìn)行穩(wěn)定性分析.在初始時刻t=0時對基態(tài)解做一小擾動，并將在t>0以后形成的非定常解分解成兩個部分:

其中{CB，hB}是系統(tǒng)的基態(tài)，{e C，?h}是系統(tǒng)的擾動態(tài).假設(shè)初始擾動態(tài)的范數(shù)共晶生長系統(tǒng)的定常解為[11]:

其中

θ?是α相的接觸角，θ+是β相的接觸角，這兩個接觸角與夾度θα，θβ以及傾斜角ψ之間滿足關(guān)系式θ?=θα?π/2?ψ，θ+=θβ?π/2+ψ，如圖2所示.

將系統(tǒng)方程以振幅遠(yuǎn)小于1進(jìn)行線性化處理，結(jié)合(1)式—(4)式，可以得到共晶生長系統(tǒng)的擾動態(tài)滿足以下控制方程和邊界條件:

1)在遠(yuǎn)場區(qū)域，當(dāng)z→∞時，

2)在側(cè)壁x=0和x=1上，

(b)反對稱(antisymmetric)模式(A-模式)

3)在界面z=hB上，

(a)Gibbs-Thomson條件

(a)對稱(symmetric)模式(S-模式)

由三角誘導(dǎo)公式可知，

于是有

結(jié)合(9)式和(10)式，Gibbs-Thomson條件可以改寫為

(b)雜質(zhì)質(zhì)量守恒條件

3擾動態(tài)的多重變量漸近展開解

為了得到系統(tǒng)擾動態(tài)的漸近解，引入快變量[12]

按照多重變量(x，z，x+，z+，t+)，解可以寫成如下形式:

并對波數(shù)函數(shù)和特征值做如下展開: